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Rectas y parábolas

Contenido de esta página:

• Recordatorio de rectas y parábolas
• 10 problemas resueltos sobre rectas
• 10 problemas resueltos sobre parábolas

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1. Rectas

La ecuación general de una recta es

$$y=ax+b$$

Al número [Math Processing Error]$a$ se le llama pendiente y al número [Math Processing Error]$b$, término independiente u ordenada al origen.
Ejemplo: la pendiente de la recta [Math Processing Error]$y=2x-3$ es [Math Processing Error]$a=2$ y la ordenada es [Math Processing Error]$b=-3$.

Observando su gráfica:

• La recta es creciente (de izquierda a derecha) porque su pendiente [Math Processing Error]$a=2$ es positiva.
• La recta corta al eje OY en el punto [Math Processing Error]$(0,-3$) porque su ordenada es [Math Processing Error]$b=-3$.

Puntos de corte con los ejes

Con el eje OX (de abscisas)
Ocurre cuando [Math Processing Error]$y=0$.
Para calcular el punto, resolvemos la ecuación que resulta al cambiar [Math Processing Error]$y$ por 0. Es decir, resolvemos la ecuación de primer grado

El punto de corte de la recta [Math Processing Error]$y=ax+b$ con el eje OX es [Math Processing Error]$(-b/a,0)$.

Ejemplo: el punto de corte de la recta [Math Processing Error]$y=2x-3$ con el eje OX es [Math Processing Error]$(3/2,0)$:

Con el eje OY (de ordenadas)
Ocurre cuando [Math Processing Error]$x=0$.
Para calcular el punto, calculamos [Math Processing Error]$y$ sustituyendo [Math Processing Error]$x$ por 0 en la ecuación. Obtendremos la ordenada: [Math Processing Error]$y=b$.

El punto de corte de la recta [Math Processing Error]$y=ax+b$ con eje eje OY es [Math Processing Error]$(0,b)$.

Ejemplo: el punto de corte con el eje OY de la recta [Math Processing Error]$y=2x-3$ es [Math Processing Error]$(0,-3)$:

Rectas especiales

Hay dos tipos de rectas que consideramos especiales: las rectas horizontales y las rectas verticales.
Recta horizontal:
Una recta es horizontal cuando su pendiente es 0. Por tanto, su ecuación es de la forma

$$y=b$$

La recta corta al eje OY en el punto [Math Processing Error]$(0,b)$ y si [Math Processing Error]$b=0$, entonces coincide con el eje OX.
Una recta horizontal es paralela al eje OX y, por tanto, nunca corta a dicho eje (excepto cuando [Math Processing Error]$b=0$).
Ejemplos: las rectas [Math Processing Error]$y=2$ e [Math Processing Error]$y=-3$ son rectas horizontales:

Recta vertical:
La ecuación general de una recta vertical es

$$x=k$$

Esta recta corta el eje OX en el punto [Math Processing Error]$(k,0)$ y si [Math Processing Error]$k=0$, entonces la recta coincide con el eje OY.

Una recta vertical no tiene pendiente ni ordenada.

Nota: una recta vertical no es la gráfica de una función. Por ello, en su ecuación no aparece la [Math Processing Error]$y$.
Ejemplos: las rectas [Math Processing Error]$x=-2$ y [Math Processing Error]$x=1$ son rectas vertivales:

2. Parábolas

La ecuación general de una parábola es

$$y=a{x}^2+bx+c$$

Los coeficientes [Math Processing Error]$b$ y [Math Processing Error]$c$ pueden ser 0. Si [Math Processing Error]$a=0$, es una recta y no una parábola.
El coeficiente [Math Processing Error]$a$ se denomina coeficiente principal y el coeficiente [Math Processing Error]$b$, término independiente.

Forma de una parábola

El coeficiente [Math Processing Error]$a$ de la parábola determina su orientación.

• Cuando [Math Processing Error]$a>0$, la parábola tiene forma de U. Por ejemplo,
  
  
• Cuando [Math Processing Error]$a<0$, tiene forma de U invertida. Por ejemplo,
  
  

Puntos de corte con los ejes

Con el eje OX (de abscisas)
Ocurre cuando [Math Processing Error]$y=0$.
Para calcular el punto, resolvemos la ecuación que resulta al cambiar [Math Processing Error]$y$ por 0. Es decir, resolvemos la ecuación de segundo grado

[Math Processing Error]$$0=a{x}^2+bx+c$$

Como las ecuaciones de segundo grado pueden tener 2, 1 ó ninguna solución, una parábola puede tener 2, 1 ó ningún punto de corte con el eje OX.
Ejemplos:

• La parábola [Math Processing Error]$y=x^2-2x+1$ tiene sólo un punto de corte con OX:
  
  [Math Processing Error]$$x=\frac{2\pm \sqrt{4-4}}{2}=\frac{2\pm 0}{2}=1$$
  
• La parábola [Math Processing Error]$y=x^2-4x+3$ tiene dos puntos de corte con OX:
  
  [Math Processing Error]$$x=\frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}=3,1$$
  
• La parábola [Math Processing Error]$y=-x^2+2x-2$ no tiene puntos de corte con OX:
  
  [Math Processing Error]$$x=\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2}=\frac{-2\pm \sqrt{-4}}{-2}$$
  

Con el eje OY (de ordenadas)
Ocurre cuando [Math Processing Error]$x=0$.
Para calcular el punto, calculamos [Math Processing Error]$y$ sustituyendo [Math Processing Error]$x$ por 0 en la ecuación. Obtendremos [Math Processing Error]$x=c$ y, por tanto, el punto de corte con OY es [Math Processing Error]$(0,c)$.

Vértice de una parábola

El vértice de una parábola está en el punto cuya primera coordenada es

[Math Processing Error]$$x=\frac{-b}{2a}$$

El vértice de una parábola es su punto máximo o mínimo (uno de los dos).
Si la parábola tiene forma de U, el vértice es un mínimo. Si tiene forma de U invertida, es un máximo.
El vértice está en el punto cuya primera coordenada es

Para saber la coordenada [Math Processing Error]$y$ tenemos que substituir en la ecuación el valor de [Math Processing Error]$x$.
Ejemplos:

• El vértice de la parábola [Math Processing Error]$y=-2x^2-1$ es un máximo:
  
  
• El vértice de la parábola [Math Processing Error]$y=2x^2-5$ es un mínimo:
  
  

3. Problemas sobre rectas

Problema 1

Calcular los puntos de corte de los ejes con la recta

¿Cuál es la pendiente y la ordenada de la recta?
¿El punto A(1, 2) es un punto de la recta?

Solución

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Problema 2

Calcular los puntos de corte de los ejes con la recta

¿Cuál es la pendiente y la ordenada de la recta?
¿El punto A(1, 2) es un punto de la recta?

Solución

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Problema 3

Calcular los puntos de corte de los ejes con la recta

¿Cuál es la pendiente y la ordenada de la recta?
¿El punto A(2, 10.25) es un punto de la recta?

Solución

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Problema 4

Calcular la ecuación de una recta que pase por los puntos A(-3,2) y B(-2,3).
¿Cuántas rectas hay que pasen por los puntos A y B?

Solución

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Problema 5

Calcular la recta que pasa por el punto A(7,7) y que tiene pendiente -3. ¿Pasa también por el origen?
Nota: el origen es el punto O(0,0).

Solución

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Problema 6

Responder las siguientes cuestiones:

1. ¿Cuántas rectas diferentes hay que pasen por dos puntos distintos A y B?
2. ¿Cómo podemos saber si una recta [Math Processing Error]$y=ax+b$ pasa por un punto P(m, n)?
3. ¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal (paralela al eje OX)?
4. Dos rectas (distintas) que no se cortan son rectas paralelas. Las siguientes dos rectas son paralelas:
   
   
   Observando sus ecuaciones, ¿cómo podemos deducir que son paralelas?
   Dar ejemplos de otras rectas paralelas a las anteriores.
5. Dada una recta, ¿cuántas rectas (distintas) son paralelas a dicha recta?

Solución

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Problema 7

Las siguientes rectas no son paralelas y, por tanto, se cortan en un punto. Calcular dicho punto:

El punto donde dos rectas se cortan se denomina punto de intersección.

Solución

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Problema 8

Las gráficas de las siguientes rectas se cortan en los vértices de un triángulo. Escribir los puntos de los vértices y calcular la longitud de la base del triángulo:

Solución

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Problema 9

Encontrar, si existen:

• la recta que une los tres puntos A(-1, -15), B(3, 9) y C(2, 3);
• la recta que une los tres puntos D(0,9), E(-2, 21) y F(8, 0).

Dados 3 puntos distintos, ¿siempre existe una recta que los une?

Solución

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